Βαθμολόγηση Thurstonian IRT — Θεωρία

Published

October 5, 2026

Εξήγηση

Το μοντέλο Thurstonian IRT

Το Thurstonian Item Response Theory (TIRT) είναι ένα ψυχομετρικό μοντέλο για ερωτηματολόγια αναγκαστικής επιλογής (forced-choice), στα οποία ο εξεταζόμενος δεν βαθμολογεί κάθε πρόταση ανεξάρτητα, αλλά επιλέγει μεταξύ ζευγών ή ομάδων προτάσεων. Κάθε ζεύγος παράγει μια δυαδική απάντηση $y \in \{0, 1\}$, ανάλογα με ποια πρόταση προτιμήθηκε.

Δομή του μοντέλου

Έστω:

$\boldsymbol{\eta} = (\eta_1, \ldots, \eta_K)^\top$ : το διάνυσμα των $K$ λανθανουσών ιδιοτήτων (latent traits) του εξεταζόμενου
$\boldsymbol{\Lambda}$ : ο πίνακας παραμέτρων φόρτισης ($N \times K$), όπου $\lambda_{ik}$ εκφράζει πόσο ισχυρά σχετίζεται το $i$-οστό ζεύγος με την $k$-οστή ιδιότητα
$\tau_i$ : το κατώφλι (threshold) του $i$-οστού ζεύγους — αντιστοιχεί στη δυσκολία της επιλογής
$\theta_i$ : η υπολειπόμενη διακύμανση (residual variance) του $i$-οστού ζεύγους
$\boldsymbol{\Psi}$ : ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης ($K \times K$) των λανθανουσών ιδιοτήτων

Μοντέλο πιθανότητας απάντησης (probit link)

Για κάθε δυαδική απάντηση $y_i$, η πιθανότητα να επιλεγεί η πρώτη επιλογή ($y_i = 1$) δίνεται από:

\[P(y_i = 1 \mid \boldsymbol{\eta}) = \Phi(z_i)\]

όπου $\Phi(\cdot)$ είναι η τυπική κανονική αθροιστική κατανομή (CDF) και

\[z_i = \frac{\boldsymbol{\lambda}_i^\top \boldsymbol{\eta} - \tau_i}{\sqrt{\theta_i}}\]

Ο αριθμητής $\boldsymbol{\lambda}_i^\top \boldsymbol{\eta} - \tau_i$ εκφράζει πόσο «εύκολο» είναι να επιλεγεί η πρώτη επιλογή για έναν εξεταζόμενο με ιδιότητες $\boldsymbol{\eta}$. Η διαίρεση με $\sqrt{\theta_i}$ κανονικοποιεί ώστε να ληφθεί υπόψη η μοναδικότητα του ζεύγους.

Εκτίμηση MAP (Maximum A Posteriori)

Ο στόχος είναι να βρούμε το διάνυσμα $\boldsymbol{\eta}^*$ που μεγιστοποιεί την εκ των υστέρων πιθανότητα (posterior probability) δεδομένου του παρατηρηθέντος μοτίβου απαντήσεων $\mathbf{y}$.

Λογαριθμική πιθανοφάνεια (log-likelihood)

Υποθέτουμε, ως απλουστευτική παραδοχή, υπό συνθήκη ανεξαρτησία των δυαδικών απαντήσεων δεδομένου $\boldsymbol{\eta}$· η παραδοχή ισχύει ακριβώς για ζεύγη, ενώ για ομάδες 3 ή περισσότερων προτάσεων αγνοεί τις συσχετίσεις των σφαλμάτων εντός ομάδας, με αμελητέα επίδραση στις εκτιμήσεις (Brown & Maydeu-Olivares, 2011· Maydeu-Olivares & Brown, 2010). Τότε:

\[\ell(\boldsymbol{\eta}) = \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i \log \Phi(z_i) + (1 - y_i) \log\bigl(1 - \Phi(z_i)\bigr) \right]\]

Λογαριθμική εκ των προτέρων κατανομή (log-prior)

Υποθέτουμε πολυμεταβλητή κανονική εκ των προτέρων κατανομή για τις λανθάνουσες ιδιότητες:

\[\boldsymbol{\eta} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \boldsymbol{\Psi})\]

\[\log p(\boldsymbol{\eta}) = -\frac{1}{2}\, \boldsymbol{\eta}^\top \boldsymbol{\Psi}^{-1} \boldsymbol{\eta} + \text{const}\]

Αντικειμενική συνάρτηση

Η εκτίμηση MAP ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση του αρνητικού λογαρίθμου της εκ των υστέρων κατανομής:

\[Q(\boldsymbol{\eta}) = -\ell(\boldsymbol{\eta}) - \log p(\boldsymbol{\eta}) = -\sum_{i} \left[ y_i \log \Phi(z_i) + (1-y_i)\log(1-\Phi(z_i)) \right] + \frac{1}{2}\,\boldsymbol{\eta}^\top \boldsymbol{\Psi}^{-1} \boldsymbol{\eta}\]

Κλίση (gradient) για τον αλγόριθμο BFGS

Ο αναλυτικός υπολογισμός της κλίσης επιταχύνει σημαντικά τη βελτιστοποίηση. Ορίζουμε:

\[w_i = \frac{(y_i - \Phi(z_i))\,\phi(z_i)}{\Phi(z_i)\,(1-\Phi(z_i))\,\sqrt{\theta_i}}\]

όπου $\phi(\cdot)$ είναι η τυπική κανονική πυκνότητα (PDF). Τότε η κλίση της $Q$ ως προς $\boldsymbol{\eta}$ είναι:

\[\nabla_{\boldsymbol{\eta}}\, Q(\boldsymbol{\eta}) = -\boldsymbol{\Lambda}_{\text{obs}}^\top \mathbf{w} + \boldsymbol{\Psi}^{-1} \boldsymbol{\eta}\]

όπου $\boldsymbol{\Lambda}_{\text{obs}}$ περιέχει μόνο τις γραμμές του $\boldsymbol{\Lambda}$ για τις μη ελλείπουσες απαντήσεις (οι ελλείπουσες απλώς παραλείπονται από την πιθανοφάνεια).

Ο πρώτος όρος $-\boldsymbol{\Lambda}_{\text{obs}}^\top \mathbf{w}$ αντιστοιχεί στη συνεισφορά των παρατηρηθέντων απαντήσεων και το δεύτερο $\boldsymbol{\Psi}^{-1}\boldsymbol{\eta}$ στην «έλξη» της εκ των προτέρων κατανομής προς το μηδέν.

Αναστροφή πίνακα (Gauss-Jordan)

Η αναστροφή του $\boldsymbol{\Psi}$ υλοποιείται χειροκίνητα με απαλοιφή Gauss-Jordan με μερική οδήγηση (partial pivoting) (συνάρτηση compute_solve()), αντί της solve() της βασικής R:

\[[\boldsymbol{\Psi} \mid \mathbf{I}] \xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}} [\mathbf{I} \mid \boldsymbol{\Psi}^{-1}]\]

Η μέθοδος υλοποιείται στις συναρτήσεις score_tirt() / score_tirt_pattern() του πακέτου rwf (εκτίμηση με stats::optim(method = "BFGS")).

Απλή Εξήγηση

Τι μετράμε;

Φανταστείτε ένα ψυχολογικό τεστ που δεν σας ζητά να βαθμολογήσετε κάθε πρόταση χωριστά («πόσο με εκφράζει αυτό;»), αλλά σας παρουσιάζει ζεύγη προτάσεων και σας ρωτά: «Ποια από τις δύο σε περιγράφει καλύτερα;»

Για παράδειγμα:

(Α) Μου αρέσει να εργάζομαι με ανθρώπους. (Β) Μου αρέσει να αναλύω δεδομένα.

Επιλέγετε ένα από τα δύο — αυτή είναι η αναγκαστική επιλογή. Το τεστ περιέχει δεκάδες τέτοια ζεύγη, και από το σύνολο των απαντήσεών σας θέλουμε να υπολογίσουμε πόσο ψηλά σκοράρετε σε κάθε χαρακτηριστικό (π.χ. κοινωνικότητα, αναλυτική σκέψη, κ.ο.κ.).

Πώς λειτουργεί η βαθμολόγηση;

Βήμα 1 — Τι ξέρουμε εκ των προτέρων

Ξεκινάμε με την παραδοχή ότι οι περισσότεροι άνθρωποι είναι κοντά στον μέσο όρο για κάθε χαρακτηριστικό. Αυτό σημαίνει ότι, για να αποδώσουμε ακραίο σκορ, χρειαζόμαστε ισχυρές και συνεπείς ενδείξεις από το μοτίβο των επιλογών.

Βήμα 2 — Τι μας λένε οι απαντήσεις

Κάθε ζεύγος ερωτήσεων «φορτίζει» σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, αν επιλέξετε «Μου αρέσει να εργάζομαι με ανθρώπους», αυτό αυξάνει το σκορ σας στην κοινωνικότητα. Αν επιλέξετε την άλλη, το μειώνει.

Η «δυσκολία» κάθε ζεύγους (threshold) καθορίζει πόσο σπάνια ή συνηθισμένη είναι η μία επιλογή έναντι της άλλης στον γενικό πληθυσμό.

Βήμα 3 — Εύρεση του «καλύτερου» σκορ

Ο αλγόριθμος δοκιμάζει διαφορετικούς συνδυασμούς σκορ για κάθε χαρακτηριστικό και ρωτά:

«Ποιος συνδυασμός σκορ είναι ο πιο πιθανός, λαμβάνοντας υπόψη τόσο τις απαντήσεις του εξεταζόμενου όσο και το ότι οι περισσότεροι άνθρωποι βρίσκονται κοντά στον μέσο όρο;»

Αυτό γίνεται με έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης (BFGS) που «ανεβαίνει» στη βουνοκορφή της πιθανότητας — δηλαδή βρίσκει το σκορ που κάνει τις απαντήσεις πιο λογικές.

Βήμα 4 — Ισορροπία μεταξύ δεδομένων και εκ των προτέρων γνώσης

Το τελικό σκορ δεν βασίζεται μόνο στις απαντήσεις, αλλά και στη γνώση μας για τον πληθυσμό. Αν οι απαντήσεις ενός ατόμου είναι αντιφατικές ή ελλιπείς, το σκορ «τραβιέται» προς τον μέσο όρο — αυτό ονομάζεται συρρίκνωση (shrinkage) και αποτρέπει ακραίες εκτιμήσεις όταν τα δεδομένα δεν είναι αρκετά.

Σύνοψη σε μια εικόνα

Τεχνικός όρος	Απλά λόγια
Λανθάνουσα ιδιότητα ($\eta$)	Το πραγματικό σκορ που θέλουμε να μετρήσουμε
Φόρτιση ($\lambda$)	Πόσο «μαρτυράει» κάθε ζεύγος για κάθε χαρακτηριστικό
Κατώφλι ($\tau$)	Πόσο «δύσκολο» είναι να επιλεγεί η μία πλευρά
Υπολειπόμενη διακύμανση ($\theta$)	Πόσο «θορυβώδης» είναι η απάντηση
Πίνακας $\Psi$	Πώς σχετίζονται μεταξύ τους τα χαρακτηριστικά
MAP εκτίμηση	Το πιο πιθανό σκορ δεδομένων των απαντήσεων
BFGS	Ο αλγόριθμος αναζήτησης που βρίσκει το βέλτιστο σκορ

Βιβλιογραφία: Brown & Maydeu-Olivares (2011). Item response modeling of forced-choice questionnaires. Educational and Psychological Measurement, 71(3), 460–502.

Maydeu-Olivares & Brown (2010). Item response modeling of paired comparison and ranking data. Multivariate Behavioral Research, 45(6), 935–974.

--- title: "Βαθμολόγηση Thurstonian IRT — Θεωρία" author: "" date: "`r Sys.Date()`" output: html_document: theme: flatly highlight: tango toc: true toc_float: true toc_depth: 3 number_sections: true mathjax: default --- ```{r setup, include=FALSE} directory<-if (rstudioapi::isAvailable()) paste0(dirname(rstudioapi::getActiveDocumentContext()$path),"/") else "" source(paste0(directory, "R/code_options.R")) source(paste0(directory, "R/code_rwf.R")) ``` --- # Εξήγηση ## Το μοντέλο Thurstonian IRT Το **Thurstonian Item Response Theory (TIRT)** είναι ένα ψυχομετρικό μοντέλο για ερωτηματολόγια **αναγκαστικής επιλογής** (*forced-choice*), στα οποία ο εξεταζόμενος δεν βαθμολογεί κάθε πρόταση ανεξάρτητα, αλλά επιλέγει μεταξύ ζευγών ή ομάδων προτάσεων. Κάθε ζεύγος παράγει μια **δυαδική απάντηση** $y \in \{0, 1\}$, ανάλογα με ποια πρόταση προτιμήθηκε. ### Δομή του μοντέλου Έστω: - $\boldsymbol{\eta} = (\eta_1, \ldots, \eta_K)^\top$ : το διάνυσμα των $K$ **λανθανουσών ιδιοτήτων** (latent traits) του εξεταζόμενου - $\boldsymbol{\Lambda}$ : ο πίνακας **παραμέτρων φόρτισης** ($N \times K$), όπου $\lambda_{ik}$ εκφράζει πόσο ισχυρά σχετίζεται το $i$-οστό ζεύγος με την $k$-οστή ιδιότητα - $\tau_i$ : το **κατώφλι** (*threshold*) του $i$-οστού ζεύγους — αντιστοιχεί στη δυσκολία της επιλογής - $\theta_i$ : η **υπολειπόμενη διακύμανση** (*residual variance*) του $i$-οστού ζεύγους - $\boldsymbol{\Psi}$ : ο πίνακας **διακύμανσης-συνδιακύμανσης** ($K \times K$) των λανθανουσών ιδιοτήτων ### Μοντέλο πιθανότητας απάντησης (probit link) Για κάθε δυαδική απάντηση $y_i$, η **πιθανότητα να επιλεγεί η πρώτη επιλογή** ($y_i = 1$) δίνεται από: $$P(y_i = 1 \mid \boldsymbol{\eta}) = \Phi(z_i)$$ όπου $\Phi(\cdot)$ είναι η **τυπική κανονική αθροιστική κατανομή** (CDF) και $$z_i = \frac{\boldsymbol{\lambda}_i^\top \boldsymbol{\eta} - \tau_i}{\sqrt{\theta_i}}$$ Ο αριθμητής $\boldsymbol{\lambda}_i^\top \boldsymbol{\eta} - \tau_i$ εκφράζει πόσο «εύκολο» είναι να επιλεγεί η πρώτη επιλογή για έναν εξεταζόμενο με ιδιότητες $\boldsymbol{\eta}$. Η διαίρεση με $\sqrt{\theta_i}$ κανονικοποιεί ώστε να ληφθεί υπόψη η μοναδικότητα του ζεύγους. --- ## Εκτίμηση MAP (Maximum A Posteriori) Ο στόχος είναι να βρούμε το διάνυσμα $\boldsymbol{\eta}^*$ που **μεγιστοποιεί την εκ των υστέρων πιθανότητα** (*posterior probability*) δεδομένου του παρατηρηθέντος μοτίβου απαντήσεων $\mathbf{y}$. ### Λογαριθμική πιθανοφάνεια (log-likelihood) Υποθέτουμε, ως απλουστευτική παραδοχή, **υπό συνθήκη ανεξαρτησία** των δυαδικών απαντήσεων δεδομένου $\boldsymbol{\eta}$· η παραδοχή ισχύει ακριβώς για ζεύγη, ενώ για ομάδες 3 ή περισσότερων προτάσεων αγνοεί τις συσχετίσεις των σφαλμάτων εντός ομάδας, με αμελητέα επίδραση στις εκτιμήσεις (Brown & Maydeu-Olivares, 2011· Maydeu-Olivares & Brown, 2010). Τότε: $$\ell(\boldsymbol{\eta}) = \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i \log \Phi(z_i) + (1 - y_i) \log\bigl(1 - \Phi(z_i)\bigr) \right]$$ ### Λογαριθμική εκ των προτέρων κατανομή (log-prior) Υποθέτουμε πολυμεταβλητή κανονική εκ των προτέρων κατανομή για τις λανθάνουσες ιδιότητες: $$\boldsymbol{\eta} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \boldsymbol{\Psi})$$ $$\log p(\boldsymbol{\eta}) = -\frac{1}{2}\, \boldsymbol{\eta}^\top \boldsymbol{\Psi}^{-1} \boldsymbol{\eta} + \text{const}$$ ### Αντικειμενική συνάρτηση Η εκτίμηση MAP ισοδυναμεί με **ελαχιστοποίηση** του αρνητικού λογαρίθμου της εκ των υστέρων κατανομής: $$Q(\boldsymbol{\eta}) = -\ell(\boldsymbol{\eta}) - \log p(\boldsymbol{\eta}) = -\sum_{i} \left[ y_i \log \Phi(z_i) + (1-y_i)\log(1-\Phi(z_i)) \right] + \frac{1}{2}\,\boldsymbol{\eta}^\top \boldsymbol{\Psi}^{-1} \boldsymbol{\eta}$$ ### Κλίση (gradient) για τον αλγόριθμο BFGS Ο αναλυτικός υπολογισμός της κλίσης επιταχύνει σημαντικά τη βελτιστοποίηση. Ορίζουμε: $$w_i = \frac{(y_i - \Phi(z_i))\,\phi(z_i)}{\Phi(z_i)\,(1-\Phi(z_i))\,\sqrt{\theta_i}}$$ όπου $\phi(\cdot)$ είναι η **τυπική κανονική πυκνότητα** (PDF). Τότε η κλίση της $Q$ ως προς $\boldsymbol{\eta}$ είναι: $$\nabla_{\boldsymbol{\eta}}\, Q(\boldsymbol{\eta}) = -\boldsymbol{\Lambda}_{\text{obs}}^\top \mathbf{w} + \boldsymbol{\Psi}^{-1} \boldsymbol{\eta}$$ όπου $\boldsymbol{\Lambda}_{\text{obs}}$ περιέχει μόνο τις γραμμές του $\boldsymbol{\Lambda}$ για τις μη ελλείπουσες απαντήσεις (οι ελλείπουσες απλώς παραλείπονται από την πιθανοφάνεια). Ο πρώτος όρος $-\boldsymbol{\Lambda}_{\text{obs}}^\top \mathbf{w}$ αντιστοιχεί στη συνεισφορά των **παρατηρηθέντων απαντήσεων** και το δεύτερο $\boldsymbol{\Psi}^{-1}\boldsymbol{\eta}$ στην **«έλξη» της εκ των προτέρων κατανομής** προς το μηδέν. ### Αναστροφή πίνακα (Gauss-Jordan) Η αναστροφή του $\boldsymbol{\Psi}$ υλοποιείται χειροκίνητα με απαλοιφή Gauss-Jordan με **μερική οδήγηση** (*partial pivoting*) (συνάρτηση `compute_solve()`), αντί της `solve()` της βασικής R: $$[\boldsymbol{\Psi} \mid \mathbf{I}] \xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}} [\mathbf{I} \mid \boldsymbol{\Psi}^{-1}]$$ Η μέθοδος υλοποιείται στις συναρτήσεις `score_tirt()` / `score_tirt_pattern()` του πακέτου rwf (εκτίμηση με `stats::optim(method = "BFGS")`). --- # Απλή Εξήγηση ## Τι μετράμε; Φανταστείτε ένα ψυχολογικό τεστ που δεν σας ζητά να βαθμολογήσετε κάθε πρόταση χωριστά («πόσο με εκφράζει αυτό;»), αλλά σας παρουσιάζει **ζεύγη προτάσεων** και σας ρωτά: «Ποια από τις δύο σε περιγράφει καλύτερα;» Για παράδειγμα: > **(Α)** Μου αρέσει να εργάζομαι με ανθρώπους. > **(Β)** Μου αρέσει να αναλύω δεδομένα. Επιλέγετε ένα από τα δύο — αυτή είναι η **αναγκαστική επιλογή**. Το τεστ περιέχει δεκάδες τέτοια ζεύγη, και από το σύνολο των απαντήσεών σας θέλουμε να **υπολογίσουμε πόσο ψηλά σκοράρετε σε κάθε χαρακτηριστικό** (π.χ. κοινωνικότητα, αναλυτική σκέψη, κ.ο.κ.). --- ## Πώς λειτουργεί η βαθμολόγηση; ### Βήμα 1 — Τι ξέρουμε εκ των προτέρων Ξεκινάμε με την παραδοχή ότι **οι περισσότεροι άνθρωποι είναι κοντά στον μέσο όρο** για κάθε χαρακτηριστικό. Αυτό σημαίνει ότι, για να αποδώσουμε ακραίο σκορ, χρειαζόμαστε **ισχυρές και συνεπείς ενδείξεις** από το μοτίβο των επιλογών. ### Βήμα 2 — Τι μας λένε οι απαντήσεις Κάθε ζεύγος ερωτήσεων «φορτίζει» σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, αν επιλέξετε «Μου αρέσει να εργάζομαι με ανθρώπους», αυτό **αυξάνει** το σκορ σας στην κοινωνικότητα. Αν επιλέξετε την άλλη, το **μειώνει**. Η **«δυσκολία»** κάθε ζεύγους (*threshold*) καθορίζει πόσο σπάνια ή συνηθισμένη είναι η μία επιλογή έναντι της άλλης στον γενικό πληθυσμό. ### Βήμα 3 — Εύρεση του «καλύτερου» σκορ Ο αλγόριθμος δοκιμάζει διαφορετικούς συνδυασμούς σκορ για κάθε χαρακτηριστικό και ρωτά: > «Ποιος συνδυασμός σκορ είναι ο **πιο πιθανός**, λαμβάνοντας υπόψη τόσο τις απαντήσεις του εξεταζόμενου όσο και το ότι οι περισσότεροι άνθρωποι βρίσκονται κοντά στον μέσο όρο;» Αυτό γίνεται με έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης (BFGS) που **«ανεβαίνει» στη βουνοκορφή της πιθανότητας** — δηλαδή βρίσκει το σκορ που κάνει τις απαντήσεις πιο λογικές. ### Βήμα 4 — Ισορροπία μεταξύ δεδομένων και εκ των προτέρων γνώσης Το τελικό σκορ **δεν βασίζεται μόνο στις απαντήσεις**, αλλά και στη γνώση μας για τον πληθυσμό. Αν οι απαντήσεις ενός ατόμου είναι αντιφατικές ή ελλιπείς, το σκορ «τραβιέται» προς τον μέσο όρο — αυτό ονομάζεται **συρρίκνωση** (*shrinkage*) και αποτρέπει ακραίες εκτιμήσεις όταν τα δεδομένα δεν είναι αρκετά. --- ## Σύνοψη σε μια εικόνα | Τεχνικός όρος | Απλά λόγια | |---|---| | Λανθάνουσα ιδιότητα ($\eta$) | Το πραγματικό σκορ που θέλουμε να μετρήσουμε | | Φόρτιση ($\lambda$) | Πόσο «μαρτυράει» κάθε ζεύγος για κάθε χαρακτηριστικό | | Κατώφλι ($\tau$) | Πόσο «δύσκολο» είναι να επιλεγεί η μία πλευρά | | Υπολειπόμενη διακύμανση ($\theta$) | Πόσο «θορυβώδης» είναι η απάντηση | | Πίνακας $\Psi$ | Πώς σχετίζονται μεταξύ τους τα χαρακτηριστικά | | MAP εκτίμηση | Το πιο πιθανό σκορ δεδομένων των απαντήσεων | | BFGS | Ο αλγόριθμος αναζήτησης που βρίσκει το βέλτιστο σκορ | --- *Βιβλιογραφία: Brown & Maydeu-Olivares (2011). Item response modeling of forced-choice questionnaires. Educational and Psychological Measurement, 71(3), 460–502.* *Maydeu-Olivares & Brown (2010). Item response modeling of paired comparison and ranking data. Multivariate Behavioral Research, 45(6), 935–974.*